Interview

Die Berechnung der Welt

Die arabischen Zahlen, die Null und die Wiederentdeckung der griechischen Geometrie sorgten in der Renaissance für eine Revolution. Thomas de Padova erzählt ein tolles Kapitel Mathematikgeschichte, ohne das unsere Moderne nicht denkbar wäre.
| Christa Sigg
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Raffaels "Schule von Athen" in den Stanzen des Vatikans ist ein schönes Beispiel für die Anwendung der Zentralperspektive. Man sieht das selbst am Bodenmosaik dieses Details. Rechts unten wird über die Geometrie debattiert. Den Zirkel hält Euklid oder Archimedes.
Raffaels "Schule von Athen" in den Stanzen des Vatikans ist ein schönes Beispiel für die Anwendung der Zentralperspektive. Man sieht das selbst am Bodenmosaik dieses Details. Rechts unten wird über die Geometrie debattiert. Den Zirkel hält Euklid oder Archimedes. © David Henley/imago

Mathematik kann spannend sein - wenn man sie kapiert. Andernfalls führt das in der Schule schnell zu traumatischen Erlebnissen. Dass man dieser Disziplin eine zweite Chance geben sollte, demonstriert der Physiker und Journalist Thomas de Padova in seinem unterhaltsamen Buch "Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand".

Seine Helden sitzen noch nicht im Elfenbeinturm, wollen vielmehr die Welt erfassen und hatten auch ihre Schwierigkeiten. Der geniale Leonardo da Vinci war zum Beispiel ziemlich schlecht im Rechnen.

AZ: Herr de Padova, Ihr Buch gibt Mathe-Versagern Trost: Unser Gehirn tut sich schwer mit Zahlen.
THOMAS DE PADOVA: Das ist tatsächlich so, denn unsere Zahlen kommen ja vom Zählen ganz konkreter Dinge, und für jedes dieser Dinge legte man früher einen Stein in ein Behältnis oder man ritzte eine Kerbe in ein Holz. Aus diesen Kerbzahlen sind die etruskischen und später die römischen Zahlen hervorgegangen. Damit tut sich unser Gehirn weitaus weniger schwer als mit der modernen abstrakten Zahlschrift. Unsere heutigen Zahlen sind eine mühsam über Jahrhunderte erworbene kulturelle Errungenschaft, und wir vergessen oft, was wir unseren Kindern zumuten, wenn wir sie zu schnell damit konfrontieren.

Wo liegt das Problem?
Unser Gehirn arbeitet assoziativ. Der Neurowissenschaftler Stanislas Dehaene hat schön beschrieben, dass nicht nur Farben oder Düfte Erinnerungen wachrufen, sondern auch Zahlen. Wenn wir 9 x 8 multiplizieren, dann wird noch viel mehr aktiviert. Zum Beispiel die Produkte von 8 x 8 oder von 9 x 9, und so ist selbst bei ganz einfachen Rechnungen die Fehlerrate sehr hoch.

Das Corona-Wachstum erklärt

Komplizierter wird es beim exponentiellen Wachstum. Können sich deshalb viele nicht vorstellen, wie rasant sich Corona verbreitet?
Sicher, das exponentielle Wachstum hat ja auch mit Zahlen zu tun, und hier besteht das Problem, dass aus anfangs sehr kleinen Zahlen irgendwann sehr große werden. Wenn Sie 1.000 Euro auf Ihr Sparbuch legen und 8 Prozent Zinsen bekommen, hat sich Ihr Kapital in etwa neun Jahren verdoppelt, weitere neun Jahre später werden aus den 2.000 Euro 4.000. Wenn sich aber die Zahl der Infizierten innerhalb von nur drei Wochen verdoppelt, weil wir uns nicht entsprechend schützen, dann werden aus anfangs 1.000 Infizierten nach nur sechs Wochen 4.000. Und nach weiteren sechs Wochen werden aus den 4.000 dann 16.000 Infizierte. In der Renaissance gehörte die Verdopplung noch zu den Grundrechenarten. Das im Unterricht wieder in den Vordergrund zu rücken, wäre keine schlechte Idee.

Wer nicht rechnen kann, ist selbst beim Einkaufen klar im Nachteil.
Beim Ratenkauf oder beim Abschluss von Versicherungen fällt man ohne Mathematik leicht auf die Nase. Selbst wenn man den Beipackzettel von Medikamenten verstehen will, geht das nicht ohne Rechnen. Fast noch wichtiger ist das aber für unsere politische Teilhabe.

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Inwiefern?
Unsere Umwelt und unsere Wirtschaft sind äußerst komplex. Wer die mathematischen Ansätze dahinter nicht versteht, kann sich nur sehr schwer vorstellen, was es mit einem Kipppunkt des Klimas auf sich hat und warum sich eine Situation so schnell verändern kann wie im Fall Corona.

Der Zusammenhang von Kunst und Mathematik

Sie gehen in Ihrem Buch über die Mathematik zurück in die Renaissance, die man eher mit dem Aufbruch in den Künsten verbindet.
Kunst und Mathematik hängen eng miteinander zusammen. Nehme Sie nur die Erfindung der Zentralperspektive, die etwa Leonardo da Vincis Bildern zugrunde liegt und die heute unsere gesamte visuelle Kultur prägt. Von der einfachen Gebrauchsanweisung bis zur Computergrafik. Überall taucht diese rationale, geometrische Bildsprache auf. Und auf der Basis der im späten 15. Jahrhundert eingeführten indisch-arabischen Zahlen wurde eine mathematische Formelsprache mit Plus- und Minuszeichen, Malpunkt und Wurzelhaken entwickelt, die wir heute überall auf der Welt benutzen.

Warum dauert es in der fortschrittsgläubigen Renaissance so lange, bis sich die arabischen Zahlen durchsetzen?
Das ist gar nicht so erstaunlich. In der römischen Zahlschrift haben Sie einen Strich für jede Einheit. Und wenn Sie bei fünf angekommen sind, machen Sie einen Schrägstrich durch oder benutzen ein neues Zeichen, das V. Dann das X. Die Zeichen werden der Größe nach aneinandergereiht, so kann man wunderbar addieren.

Das ist anschaulich.
Aber mehr eben auch nicht. Die neue Zahlschrift beruht auf einer Mischung aus Addition und Multiplikation in einem dezimalen Stellenwertsystem. Das beinhaltet die Zeichen von 1 bis 9 und die Null als Platzhalter. Eine Zahl wie 1010, bei der zwei Stellen unbesetzt bleiben, bedeutet aber etwas völlig anderes als XX in der römischen Schreibweise. Eine derart neue Mathematik hat sich weder in Indien, noch im arabischen Raum, noch in Europa von heute auf morgen durchsetzen können. Am Regensburger Dom tauchen 1464 die ersten indisch-arabischen Zahlen in einer Inschrift auf. Dann gibt es Mischformen, die fangen mit 14 in arabischen Ziffern an und gehen mit römischen Ziffern weiter oder umgekehrt. Erst um 1500 haben sich bei den Regensburger Steinmetzen die neuen Zahlen durchgesetzt.

Vorbehalte gegenüber arabischen Zahlen

Hätten nicht gerade Kaufleute scharf auf die neuen Rechenmöglichkeiten sein müssen?
Natürlich, aber es gab vor allem auf amtlicher Seite Vorbehalte. Viele haben die neue Zahlschrift noch nicht beherrscht. Und es gab Bedenken, dass man etwa durch das Anhängen einer Null einen Betrag ganz einfach fälschen könne. Noch das Freiburger Stadtrecht von 1520 versagt Schuldbüchern mit indisch-arabischen Ziffern jegliche Beweiskraft. Die Richter akzeptierten nur Bücher, die mit "langenzal oder mit ganzen worten" geschrieben sind. Wenn man sich dann aber die Archive der Ravensburger Handelsgesellschaft anschaut, sieht man, dass die jüngeren Generationen nicht mehr mit römischen, sondern in der neuen indisch-arabischen Zahlschrift gerechnet haben - auch wenn sie es offiziell nicht sollten.

Die Null ist eine dubiose Sache.
Sie wurde als Zahl auch nicht anerkannt. Null heißt: nichts. Aber im Stellenwertsystem hat sie sofort eine Funktion als Zahl. 1010 bedeutet dann nämlich 1 x 1.000 + 0 x 100 + 1 x 10 + 0 x 1. Und wenn Sie das auf diese Weise aufschlüsseln, ist der Schritt von der Platzhalternull zur Zahl Null nur noch ein ganz kleiner. Nach der Null wurde dann immerhin die gesamte neue Zahlschrift benannt. Null heißt im indisch-arabischen Raum "al sifr" - und schon sind wir bei den Ziffern oder Chiffren, die man wiederum mit einer Geheimschrift in Verbindung brachte. Auch das demonstriert noch einmal die Rätselhaftigkeit der Null.

Die Wissenschaft als Inspirationsquelle

Apropos Null: Künstler und Literaten kokettieren heute gerne damit, in Mathe eine Null zu sein, dafür aber kreativ und sinnlich. Albrecht Dürer und Leonardo haben dagegen ihr mathematisches Interesse ganz besonders betont.
In der Renaissance galten die Wissenschaften für Künstler als große Inspirationsquelle und umgekehrt. Damals ging das alles Hand in Hand. Die Kunstakademie, wie wir sie in Florenz haben, ist im Prinzip die Vorläuferin der heutigen polytechnischen Hochschulen. Man hat dort gelernt, was man fürs Vermessungswesen oder die Astronomie braucht. Nicht ohne Grund hat auch ein Galileo Galilei beim Lehrer einer solchen Kunstakademie studiert. Eine deutliche Trennung kommt dann im 18. Jahrhundert mit einer starken Spezialisierung der Mathematik, wo sich die Künstler regelrecht ausgeschlossen fühlen.

Dürers Proportionszeichnungen sehen allerdings nicht sonderlich überzeugend aus.
Dafür wurde er auch von Michelangelo heftig kritisiert: Dürers Figuren seien "steif wie die Pfähle". Er selbst staunt darüber, dass sich die "krumpen", also die krummen Linien unseres Körpers in Zahlen fassen und unsere Körperformen durch "eckette corpora" ausdrücken lassen. Heute, in Zeiten von Computergrafiken, ist eine solche Annäherung gang und gäbe. Doch über solche Mittel verfügte Dürer noch nicht, und weil das so schwierig war, folgte ihm niemand auf diesem Weg. Er hat damit aber einen Weg zur modernen Biometrie gewiesen.

Martin Luther hat den Mathematiker Michael Stifel sehr unterstützt, obwohl der mit seinen Weltuntergangsberechnungen völlig falsch lag. Was hat sich der Reformator von ihm versprochen?
Stifel war Augustinermönch und einer der frühen und ganz treuen Anhänger Luthers. Mit der Mathematik hatte ihre Verbindung nichts zu tun. Sie zeigt aber, dass es viele Zugänge gab. Später hat Stifel versucht, die Bibel anhand von Zahlen zu deuten und jedem Buchstaben einen Zahlenwert zuzuordnen. Er hat das Rechnen mit Unbekannten, mit algebraischen Gleichungen vorangetrieben. Auch die Astrologie und selbst das Glücksspiel haben zur Mathematik geführt. Gerade ein emotionaler Zugang kann zu Höchstleistungen antreiben. Denken Sie an Girolamo Cardano, der einerseits Astrologe war und Träume deutete und auf der anderen Seite kubische Gleichungen löste und die Grundlagen für die Wahrscheinlichkeitsrechnung legte - er war nämlich spielsüchtig.

Haben ihm die Berechnungen geholfen?
Nein, Cardano hat seine Familie mehrmals in den Ruin getrieben. Bei Glücksspielen könne man nur verlieren, war seine Warnung. Doch obwohl er das durchschaute, hat er weiter gemacht.

Auch die Mathematik birgt große Gefahren

Heute bestimmt die Uhr unseren Takt, das Smartphone zählt ungefragt unsere Schritte, und viele Ärzte orientieren sich fast nur noch an den Laborwerten. Verlassen wir uns zu sehr auf Zahlen?
Manchmal ja. Wie alle geistigen und technischen Entwicklungen birgt auch die Mathematik große Gefahren. Wenn Sie heute selbstlernende Algorithmen gegeneinander antreten lassen - der eine fälscht ein Bild und der andere soll erkennen, ob das Bild echt ist - dann gewinnt am Ende der Fälscher. Das ist beängstigend. Große Unternehmen wie Google oder Facebook haben die Möglichkeit, aus riesigen Daten- und Bildmengen Algorithmen zu trainieren, die wir von außen nicht mehr durchschauen können. Heute schon kann man Menschen in einem Video etwas in den Mund legen, und es sieht so aus, als hätte die Person das tatsächlich gesagt.

Früher ließen die Herrscher ihre Astrologen in den Himmel blicken und rechnen, heute setzen wir auf Algorithmen und hoffen auf die Lösung unserer (Zukunfts)Probleme.
Auch unser Wissen ist begrenzt, und zum Teil sind wir uns dessen weniger bewusst als die Astrologen von einst, für die das oft nur der Brotberuf war. Johannes Keppler hat Astrologie betrieben, um Mathematiker sein zu können. Er war nicht der Einzige, der die Vorhersagemöglichkeiten der Astrologie als sehr begrenzt ansah.

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Würde uns eine gewisse "Lust an der Mathematik" heute wieder gut tun?
Sehr sogar, denn die Mathematik ist nicht nur nützlich und verbirgt sich hinter jedem Lichtschalter und jedem Fahrkartenautomaten, sie ist auch ungemein anregend. Das sieht man in der Renaissance an Figuren wie Stifel, Leonardo und Dürer unglaublich gut. Und wie die Poesie ist die Mathematik dazu imstande, die Wirklichkeit in einer verdichteten Form abzubilden.

Was müsste sich am Mathematik-Unterricht ändern?
Mir scheinen schon die Lehrpläne viel zu vollgepackt. Und dann sollte der Unterricht anschaulicher werden. Manche Schüler sind wie einst Leonardo schlecht im Rechnen, haben aber ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen, das man nutzen könnte, indem man, wie damals, Rechnungen mit Hilfe der Geometrie erklärt. Auch die Geschichten drumherum vermitteln Lust an der Mathematik.

Thomas de Padova: "Alles wird Zahl. Wie sich die Mathematik in der Renaissance neu erfand" (Hanser, 374 Seiten, 25 Euro)

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